# سیگما فیلد چیه؟
خودمونی: سیگما فیلد همون مجموعه رویدادها هست.
به مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌های فضای نمونه \(\Omega\) گفته میشه که دارای ویژگی‌های زیر هست:
- نسبت به مکمل‌گیری بسته
- نسبت به اجتماع و اشتراک شمارا بسته
- شامل خود فضای نمونه و مجموعه تهی هست
سیگما فیلد بدیهی چیه؟ مجموعه شامل فضای نمونه و تهی \(\{\Omega, \emptyset\}\).
وقتی از فضای احتمال (Probability Space) صحبت می‌کنیم، منظور از سیگما فیلد، مجموعه رویدادها (Events) هست.
فرض کنیم فضای نمونه \( \Omega = \{a, b, c\} \) باشد. یک سیگما فیلد ممکن برای این فضای نمونه به صورت زیر است:
\(\mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \{a\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \right\}\)
در این سیگما فیلد:
- مجموعه تهی \( \emptyset \) و کل فضای نمونه \( \{a, b, c\} \) در سیگما فیلد قرار دارند.
- متمم هر مجموعه در \( \mathcal{F} \) نیز در \( \mathcal{F} \) قرار دارد (برای مثال، متمم \( \{a\} \) برابر است با \( \{b, c\} \)).
- این سیگما فیلد تحت اجتماع شمارا بسته است (برای مثال، \( \{a\} \cup \{b, c\} = \{a, b, c\} \)).
در این مثال، سیگما فیلد \( \mathcal{F} \) دارای ویژگی‌های زیر است که هرکدام معنای خاصی دارند:
- مجموعه تهی و کل فضای نمونه در سیگما فیلد وجود دارند: این ویژگی به معنای این است که همیشه می‌توانیم با احتمال یک، رویدادی را در نظر بگیریم که هیچ اتفاقی نمی‌افتد (مجموعه تهی \( \emptyset \)) یا اینکه حتماً یکی از نتایج رخ می‌دهد (کل فضای نمونه \( \Omega \)).
- متمم هر مجموعه در سیگما فیلد نیز در آن وجود دارد: به این معنا است که اگر بتوانیم احتمال یک رویداد را محاسبه کنیم، باید بتوانیم احتمال "رخ ندادن آن رویداد" یا "متمم" آن را نیز محاسبه کنیم. برای مثال، اگر \( \{a\} \) در سیگما فیلد باشد، \( \{b, c\} \) (که متمم \( \{a\} \) است) نیز باید در سیگما فیلد قرار داشته باشد. این موضوع برای تطابق با تعریف احتمال ضروری است، زیرا احتمال کل فضا باید برابر با ۱ باشد و احتمال متمم رویداد برابر با \( 1 - P(A) \) است.
- بسته بودن تحت اجتماع شمارا: این ویژگی بیان می‌کند که اگر چندین رویداد در سیگما فیلد باشند، اجتماع آن‌ها (یا ترکیب چند رویداد) نیز باید در سیگما فیلد وجود داشته باشد. این به این معنا است که اگر بتوانیم احتمال رویدادهای منفرد را محاسبه کنیم، باید بتوانیم احتمال وقوع همزمان آن‌ها را نیز به دست آوریم. برای مثال، اگر \( \{a\} \) و \( \{b, c\} \) در سیگما فیلد باشند، اجتماع آن‌ها \( \{a, b, c\} \) نیز باید در سیگما فیلد باشد.
این ویژگی‌ها در کنار هم امکان تعریف دقیق و منسجم احتمال برای رویدادهای مختلف را فراهم می‌کنند، به طوری که هر احتمالی در هماهنگی با دیگر احتمالات محاسبه شود.