# مفهوم Probability Measure یک تابع احتمال یا اندازه احتمال \( P \)، تابعی است که به هر رویداد در سیگما فیلد \( \mathcal{F} \) یک عدد حقیقی غیرمنفی اختصاص می‌دهد و سه ویژگی زیر را دارد: - \( P(\emptyset) = 0 \) (احتمال رخ دادن هیچ اتفاقی صفر است). - \( P(\Omega) = 1 \) (احتمال رخ دادن حداقل یک نتیجه در کل فضای نمونه برابر با 1 است). - افزایشی بودن شمارا: اگر \( A_1, A_2, A_3, \dots \) مجموعه‌های مجزا (disjoint) در \( \mathcal{F} \) باشند، آنگاه \(P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)\) یعنی احتمال اجتماع شمارا از رویدادهای مجزا برابر با مجموع احتمالات تک تک آن‌ها است. ### مثال فرض کنید فضای نمونه یک پرتاب سکه باشد \( \Omega = \{H, T\} \) که \( H \) نشان‌دهنده شیر و \( T \) نشان‌دهنده خط است. یک سیگما فیلد برای این فضای نمونه می‌تواند به صورت زیر باشد: \(\mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H, T\} \right\}\) حالا یک تابع احتمال می‌تواند به صورت زیر تعریف شود: \(P(\{H\}) = 0.5, \quad P(\{T\}) = 0.5, \quad P(\{H, T\}) = 1, \quad P(\emptyset) = 0\) در این مثال: - احتمال رویداد \( \{H\} \) که شیر رخ دهد برابر با \( 0.5 \) است. - احتمال رویداد \( \{T\} \) که خط رخ دهد نیز برابر با \( 0.5 \) است. - احتمال اینکه حداقل یکی از این دو نتیجه رخ دهد \( P(\{H, T\}) \) برابر با 1 است، یعنی حتماً یکی از آن‌ها رخ خواهد داد. ### مفهوم تابع احتمال برای هر رویداد ممکن، عددی را بین 0 و 1 به عنوان احتمال رخداد آن رویداد اختصاص می‌دهد. این تابع احتمال باید با قوانین سیگما فیلد سازگار باشد، به این معنا که احتمالات رویدادها (از جمله اجتماع، اشتراک، و متمم) همگی با این سه ویژگی تابع احتمال مطابقت داشته باشند. به عنوان مثال، اگر چندین رویداد مجزا داشته باشیم، احتمال رخ دادن یکی از آن‌ها برابر با مجموع احتمالات آن‌ها است. ### تفاوت با Measure به صورت کلی در واقع هر probability measure یک measure هست ولی برعکسش درست نیست. حالا یک measure چیه؟ تابعی هست که ویژگی‌های فوق رو داره ولی به جای اینکه خروجی بین ۰ و ۱ داشته باشه، خروجی نامنفی داره. در واقع measure رو تعریف کردن که مفاهیمی مثل طول، مساحت و حجم رو به صورت ریاضیاتی دقیق و فرمال بیان کنن. از طرفی، اینجا چون به هر ورودی میتونیم مقادیر بزرگتر از ۱ هم نسبت بدیم، دیگه شرط نرمال‌سازی رو نداریم. یعنی مجموع خروجی روی همه ورودی‌ها ۱ نیست. برای مثال: - طول یک خط در فضای ۱ بعدی یک measure هست. - مساحت در فضای ۲ بعدی یک measure هست. - حجم در فضای ۳ بعدی و بالاتر یک measure هست.